Основные сведения для успешного изучения геометрии

Понятия

Отрезок. Равные отрезки. Луч (полупрямая). Параллельные прямые, плоскости, отрезки, лучи. Скрещивающиеся прямые. Угол. Развернутый угол. Прямой угол, тупой угол, острый угол. Градус. Равные углы. Биссектриса угла. Смежные углы. Вертикальные углы. Ломаная линия. Многоугольник, его вершина, сторона, угол, внешний угол, диагональ. Выпуклый многоугольник, Треугольник, четырехугольник, пятиугольник,… Равные треугольники. Медиана треугольника. Биссектриса треугольника. Высота треугольника. Равнобедренный треугольник, его основание, боковые стороны, вершина. Равносторонний треугольник.

Аксиомы

А1. Через две различные точки проходит прямая, и только одна.

А2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и только одна.

А3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся эта прямая (каждая ее точка) лежит в этой плоскости.

А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются (в теоретико-множественном смысле) по прямой.

А5. Через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Теоремы

Т1. Через прямую и точку вне ее проходит плоскость, и только одна.

Т2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и только одна.

Т3. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и только одна.

Т4. Смежные углы в сумме составляют 180о.

Т5. Вертикальные углы равны.

Т6. Через данную точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой в плоскости, содержащей эту точку и эту прямую.

Т7 (свойства равнобедренного треугольника) У равнобедренного треугольника углы при основании равны, его биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, совпадают.

Т8 (признаки равнобедренного треугольника). Если у треугольника два угла равны или если одна из его биссектрис совпадает с одной из его медиан, или если одна из медиан совпадает с его высотой, или если одна из его высот совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник – равнобедренный.

Т9 (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Т10 (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащие к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Т11 (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Т12 (признак параллельности прямой и плоскости). Если  прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, и сама не лежит в этой плоскости, то она ей параллельна.

Т13 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Т14. Транзитивность параллельности прямых в пространстве: если а, b и с — различные прямые и если  a||b, b||c,  то а||с.

Т15. Транзитивность параллельности плоскостей: если если a, b и g — различные плоскости и если a||b, b||g,  то a||g.

Т16 (признаки параллельности прямых). Если две данные прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей прямой и если образовавшиеся при этом внутренние накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или внутренние односторонние углы в сумме образуют 180о, то две данные прямые параллельны.

Т17 (свойства параллельных прямых). Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, внутренние односторонние углы в сумме образуют 180о.

Т18. Сумма углов треугольника равна 180о. Сумма углов n-угольника равна

180о(n-2). Cумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360о.

Т19. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Т20. О признаках параллелограмма.

Т21. О свойствах параллелограмма.

Т22. О признаках ромба.

Т23. О свойствах ромба.

Т24. О признаке прямоугольника.

Т25. О свойстве прямоугольника.

Т26. Теорема Фалеса.

Т27. О свойствах средней линии треугольника.

Т28. О свойствах средней линии трапеции.

Т29. О признаках равнобедренной трапеции.

Т30. О свойствах равнобедренной трапеции.

Т31. О признаке перпендикулярности прямой и плоскости.

Т32. О признаке перпендикулярности плоскостей.

Т33. Теорема о трех перпендикулярах.

Т34. Основные тригонометрические тождества.

 

Т35. Формулы приведения для острых углов.

  • sin(90o — x) = cos x
  • cos(90o — x) = sin x
  • tg(90o — x) = ctg x
  • ctg(90o — x) = tg x.

Алгоритмы

Ал1. Построение циркулем и линейкой угла, равного данному.

Ал2. Построение циркулем и линейкой биссектрисы данного угла.

Ал3. Построение циркулем и линейкой оси симметрии двух точек.

Ал4. Построение циркулем и линейкой треугольника по трем его сторонам.

Ал5. Построение (воображаемое) плоскости, проходящей через данные прямую и точку.

Ал6. Построение (воображаемое) плоскости, проходящей через две данные пересекающиеся прямые.

Ал7. Построение (воображаемое) плоскости, проходящей через две данные параллельные прямые.

 

Добавить комментарий